sistem persaman linier dua variabel dan tiga variabel

A. sistem persamaan linier dua variabel

1. persamaan linier dua variabel

suatu persamaan dalam bentuk ax+by+c= 0, dimana a,b, dan c konstanta (a= 0 dan b= 0), disebut persamaan linier dua variabel x dan y.

 x-5y+ 1= 0, x-y= 0, dan 2x-3y-5= 0 adalah beberapa contoh per9samaan linier dua variabel x dan y.

2. sistem persamaan linier dua variabel

seringkali kita dihadapkan munculnya lebih dari satu persamaan dalam beberapa variabel. dalam kondisi itu, persamaan-persamaan tersebut dinamakan sebagai suatu sistem persamaan. suatu sistem persamaan ditulis dengan menggunakan kurung kurawal di sisi kiri. biasanya, suatu sistem persamaan linier dua variabel (atau yang tak diketahui) x dan y dapat ditulis sebagai:

{ a1x+ b1y=  c1                           (1)

{ a2x+ b2y=  c2                            (2)

dimana a1, b1, c1, a2, b2,c2 merupakan bilangan riil.

tanda kurung kurawal tersebut menunjukkan bahwa masing-masing persamaan tersebut berhubungan satu sama lain. suatu penyelesaian dari sistem tersebut terdiri dari nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut sekaligus.

3. beberapa metode penyelesaian 

sekarang akan dibahas metode aljabar dalam menyelasaikan sistem dua persamaan linier dua variabel.

a. metode substitusi

berikut ini langkah-langkah metode substitusi dalam menyelesaikan sistem dua persamaan linier dua variabel.

langkah 1: dari satu persamaan, nyatakan y dalam bentuk x.

langkah 2: pada persamaan yang lain, substitusikan nilai y yang diperoleh pada langkah sebelumnya dan selesaikan untuk nilai x.

langkah 3: substitusikan nilai x pada persamaan yang diperoleh pada langkah pertama untuk mendapatkan nilai y.

catatan: x juga bisa dinyatakan dalam bentuk y pada langkah 1 dan kemudian lakukan langkah yang sama pada langkah 2 dan 3.

Contoh Soal

Tentukan HP dari persamaan linear berikut dengan metode

substitusi !

   

  3x + 4y = 11 … persamaan (1)

   x + 7y = 15 … persamaan (2)

Penyelesaian:

Dari pers.(2) didapat :  x = 15 – 7y … persamaan (3)

Kemudian substitusikan pers.(3) ke pers.(1) :

                  3x + 4y = 11

⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11

 

⇔   45 – 21y + 4y = 11

⇔        - 21y + 4y = 11 – 45

⇔                - 17y = - 34  

             

⇔                      y = 2

                       

 Nilai  y = 2 lalu substitusikan  y  ke pers (3)

  x = 15 – 7y

  x = 15 – 7(2)

  x = 15 – 14

  x = 1

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya = {(1, 2)

  b. metode eliminasi

berikut ini adalah langkah-langkah metode eliminasi dalam menyelesaikan sistem dua persamaan linier dua variabel

langkah 1: kalikan salah satu atau kedua persamaan dengan beberapa bilangan yang sesuai untuk menyamakan koefisien x atau y.

langkah 2: tambahkan atau kurangi persamaan tersebut untuk mengeliminasi variabel yang koefisiennya dan dapatkan nilai dari variabel lain.

langkah 3: substitusikan nilai ini pada salah satu persamaan awal untuk mendapatkan nilai variabel lain.

Contoh soal:

Tentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari persamaan linear berikut dengan metode eliminasi!

  2x + 3y = 1 … pers.(1)

  3x +   y = 5 … pers.(2)

Catatan :

“Jika kita mengeliminasi (menghilangkan) variabel  x  maka yang akan kita dapatkan nantinya adalah nilai dari variabel y dan sebaliknya, jika kita mengeliminasi variabel  y   maka yang akan kita dapatkan nantinya adalah nilai dari variabel x “

Latihan soal

   Mengeliminasi x

   2x + 3y = 1  |x3|  6x + 9y = 3

   3x +   y = 5  |x2|  6x + 2y = 10  –

                                    7y  = -7

                                       y = -1

   Mengeliminasi y

   2x + 3y = 1  |x 1|  2x +3y = 1

   3x +  y = 5   |x 3|  9x +3y = 15 –

                                      -7x = -14

                                         x = 2

Jadi, HP = {(2, -1)}

c. metode perbandingan

 berikut ini langkah-langkah metode perbandingan dalam menyelasaikan dua persamaan linier dua variabel.

langkah 1: dari kedua persamaan, nyatakan salah satu variabel dalam variabel lain (misalnya x dalam bentuk y)

langkah 2: samakan kedua pernyataan untuk memperoleh nilai y.

langkah 3: subtitusikan nilai y kedalam salah satu hubungan (persamaan) yang didapatkan pada langkah 1 untuk memperoleh nilai.

  Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:

   2x + 3y = 1     

   3x + y   = 5 

Penyelesaian:

A.cara eleminasi dan subtitusi

    eleminasi X

   2x + 3y = 1      |X 3 |     6x  +  9y  =  3

   3x + y   = 5      |X 2 |     6x  +  2y  = 10

                                        ____________   _

                                                  7y  =  -7

                                                    y  =  -7 / 7

                                                    y  = -1

     subtitusi y

     kesalah satu persamaan (cari yang paling cepat/sederhana)

     3x + y = 5

     3x - 1 = 5

          3x = 5 + 1

            x = 6/3

            x = 2 

 Maka Hp-nya adalah (x,y) = (-1,2)

B. sistem persamaan linier tiga variabel

suatu persamaan dengan bentuk

Ax+ By+ Cz= D

dimana A, B, C, dan D merupakan konstanta dan A, B, dan C semuanya tidak nol, disebut persamaan linier tiga variabel x, y, dan z.

misalnya diketahui sistem persamaan linier tiga variabel x,y,dan z sebagai berikut

{a1x+ b1y+ c1z= d1

{a2x+ b2y+ c2z= d2

{a3x+ b3y+ c3z= d3

dimana a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, dan c3 tidak semuanya nol. untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier tiga variabel, digunakan metode aljabar sebagaimana yang telah dibahas pada bahasan sebelumnya.

suatu pendekatan digunakan untuk memilih dua pasangan dari persamaan-persamaan yang diberikan dan mengeliminasi variabel yang sama dari masing-masing pasangan. dua persamaan yang dihasilkan, dalam dua variabel yang sama, dapat diselesaikan dengan metode eliminasi. subtitusi dari dua nilai ini pada persamaan awalnya akan menghasilkan nilai variabel ketiga, sebut saja ketiga nilai variabel tersebut adalah x0, y0, dan z0. dengan demikian, {(x0, y0, z0)} disebut penyelesaian dari sistem persamaan jika (x0, y0, z0) memenuhi ketiga persamaan tersebut.

Contoh Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian x, y dan z dari persamaan berikut!

3x - 3y - 3z = 9   ........(i)

2x + 2y +  2z = 18  ........(ii)

x - 3y - 3z = -30.......(iii)

Penyelesaian:

Gunakan metode eliminasi terhadap 2 persamaan terlebih dahulu:

3x - 3y - 3z = 9    | X4  →  12x -  12y - 12z = 36

 x - 3y - 3z = -30  | X3  →  3x - 18y - 12z = -90

                            ____________________ -

                                9x + 6y   = 126  ..........(iv)

  x - 3y - 3z   = -30 | X2  →   2x - 6y - 6z = -30

2x + 2y +  2z = 18  | X-3 → -6x - 6y - 6z = -54

                            ____________________ -

                                      8x = 24  x = 3 .......(v)

Karena dari persamaan (v) kita sudah mendapatkan nilai x, sekarang tinggal gunakan metode substitusi terhadap persamaan (iv)

  9x + 6y  = 126

9(3) + 6y  = 126

  27 + 6y  = 126

       6y  = 126 - 27

       6y  = 99

        y  = 99/6 

        y = 16,5

Sekarang kita sudah mendapat nilai y. Langsung saja subtitusikan nilai x dan y pada salah satu persamaan i, ii, atau iii untuk mengetahui nilai z:

2x + 2y +  2z = 18

2(3) - 2(16,5) - z  = 18

6 + 33 + z  = 18

       39 + z  = 18

                 z  = 18 - 39

                 z  = -21

Maka himpunan penyelesaian dari ketiga persamaan tersebut adalah {3; 16,5; -21}